線形代数（ベクトル・行列） - G検定無料問題集｜解説付きでたくさん練習できる「G検定の森」

線形代数（ベクトル・行列）を理解する

線形代数は、G検定でも頻出の基礎数学です。特にベクトル・行列は、機械学習モデルの内部計算（重み・特徴量・勾配など）に深く関わるため、必ず押さえておく必要があります。計算問題で基礎的な計算を試験でも問われることがあります。

ベクトルは「向きと大きさを持つ量」、行列は「数を並べた表」です。まずは高校数学レベルの基本から整理していきましょう。

ベクトルとは、向きと大きさを持つ量のことです。高校数学では、次のように表されます。

\vec{v} = (v_1, v_2)

3次元なら次のようになります。

\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)

ベクトルは「点」ではなく向きと大きさを持つ「矢印」として捉えると理解しやすく、機械学習では特徴量をベクトルとして扱います。

内積とは、2つのベクトルの類似度を測る計算です。計算式は次の通りです。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

内積は、機械学習の「重み × 入力」の計算そのものです。

簡単な計算例：

\vec{a} = (1, 3), \quad \vec{b} = (2, 4)

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times2 + 3\times4 = 14

アダマール積とは、行列の同じ位置の要素同士を掛け合わせる演算です。

例えば、次のような 2×3 行列を考えます。

A = \begin{pmatrix}1 , 2 , 3 \\ 4 , 5 , 6\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}7 , 8 , 9 \\ 1 , 2 , 3\end{pmatrix}

アダマール積は次のように計算します。

A \circ B = \begin{pmatrix}1\times7 , 2\times8 , 3\times9 \\ 4\times1 , 5\times2 , 6\times3\end{pmatrix}

アダマール積のサイズは元の行列と同じ m×n のままです。

ベクトルの正規化とは、ベクトルの長さを1にする操作です。方向はそのままで、大きさだけを1に揃えます。

正規化の式は次の通りです。ベクトルの絶対値を計算し、絶対値で割ることで求めることができます。

\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

計算例：

\vec{v} = (3, 4)

|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

\hat{v} = (3/5, 4/5)

この記事では、G検定で頻出の線形代数（ベクトル・行列）について、基本概念と計算例を交えて解説しました。

線形代数は機械学習の基礎であり、モデルの内部計算を理解するための重要なステップです。基本を押さえておくことで、G検定の問題にも強くなります。